ο υποψήφιος «Προπονηθείτε» με μεθοδική μελέτη και πολλές ασκήσεις

Μαθηματικά. Ο εφιάλτης πολλών μαθητών, που για άλλους όμως είναι ένα ταξίδι

σε έναν συναρπαστικό κόσμο. Πώς να αποδώσουν καλά οι μαθητές της B’ και Γ’

Λυκείου; Ο «Υποψήφιος» φωτίζει σήμερα τα «μυστικά» για επιτυχημένη απόδοση στα

Μαθηματικά, με τη βοήθεια έμπειρων καθηγητών και μαθητών που πέτυχαν άριστες

βαθμολογίες.

«Διάβασμα από το σχολικό βιβλίο χωρίς επιλογές»

O κ. Βασίλης Κατσαργύρης, καθηγητής στο Λύκειο της Βαρβακείου

Πειραματικής Σχολής, είναι μέλος της συγγραφικής ομάδας του βιβλίου των

Μαθηματικών Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ’ Λυκείου:

«Για τη σωστή μελέτη των Μαθηματικών πρέπει καταρχάς ο υποψήφιος να φροντίσει

να καλύψει, κατά το δυνατόν, τα κενά που μπορεί να έχει από προηγούμενες

τάξεις. Με σιγουριά πλέον και την ψυχολογία του “ανεβασμένη”, ξεκινάει τη

μελέτη της εξεταστέας ύλης της τάξης του. Διαβάζει πολύ καλά τη θεωρία από το

σχολικό βιβλίο, χωρίς να κάνει επιλογές. Λύνει, σε πρώτη φάση, όσες από

τις ασκήσεις του σχολικού βιβλίου μπορεί. Για τις ασκήσεις που δυσκολεύεται,

καταφεύγει στις υποδείξεις που υπάρχουν στο τέλος του βιβλίου. Αν κάποιες από

τις ασκήσεις αυτές εξακολουθούν να τον δυσκολεύουν, ζητάει από τον καθηγητή

της τάξης του να τις συζητήσουν στον πίνακα. Στις περιπτώσεις αυτές, και αφού

πρώτα κατανοήσει καλά τη λύση, καταγράφει στο μυαλό του τις στρατηγικές που

ακολουθήθηκαν, έτσι ώστε να τις έχει πρόχειρες για την επίλυση παρόμοιων

προβλημάτων στο μέλλον. Μετά την ολοκλήρωση κάθε κεφαλαίου, μία προσεκτική

επανάληψη βοηθάει να επαναφέρει στη μνήμη του έννοιες και μεθόδους, καθώς

επίσης και να εντοπίσει κάποια λεπτά σημεία που ίσως δεν κατάφερε να

παρατηρήσει στο αρχικό διάβασμα. Ένα στοιχείο που πρέπει ακόμη να προσέξει ο

υποψήφιος είναι η κατανομή του χρόνου μελέτης. Δεν ξεχνάει ότι εξετάζεται σε

εννιά μαθήματα και επομένως είναι ανάγκη ο διαθέσιμος χρόνος του να μοιραστεί

σε αυτά ανάλογα με τη δυσκολία και την έκταση της ύλης καθενός. Τέλος, αφού

αποφασίσει για τον χρόνο που θα διαθέσει (περίπου) για κάθε μάθημα, πρέπει και

αυτόν τον χρόνο να τον κατανείμει, έτσι ώστε, αρκετά πριν έρθει η ώρα των

εξετάσεων, να έχει ολοκληρώσει την εξεταστέα ύλη. Ο χρόνος που απομένει μέχρι

τις εξετάσεις είναι χρόνος γενικών επαναλήψεων».

H γοητεία των αριθμών

Πώς να γοητευτείτε από τους αριθμούς, εξηγεί ο Γιάννης Τυρλής, μέλος της

Μαθηματικής Εταιρείας

Τα Μαθηματικά δεν είναι απλά ένα εξεταζόμενο μάθημα. Είναι μια επιστήμη με

πολλές εφαρμογές σε θετικές και θεωρητικές επιστήμες και συγχρόνως απαραίτητη

ως τρόπος σκέψης σε κάθε άνθρωπο που καθημερινά καλείται να λύσει προβλήματα.

H μαθηματική σκέψη, βέβαια, μπορεί να γίνει πολύτιμος βοηθός των μαθητών που

συμμετέχουν στις Πανελλήνιες Εξετάσεις, όχι μόνον στο μάθημα των Μαθηματικών

αλλά και στα άλλα μαθήματα.

H μεθόδευση της προετοιμασίας τους, η διερεύνηση των παραμέτρων που επηρεάζουν

την προσπάθειά τους και η αντιμετώπιση των ειδικών χαρακτηριστικών που έχει

κάθε μάθημα είναι ένα πρόβλημα που καλείται να επιλύσει κάθε μαθητής.

Είναι αλήθεια ότι τα Μαθηματικά παρουσιάζουν δυσκολίες για πολλούς. Ένας από

τους στόχους της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας είναι η απόκτηση ενός

ικανοποιητικού επιπέδου μαθηματικών γνώσεων για τη συντριπτική πλειοψηφία των

ανθρώπων, κάτι που είναι απαραίτητο για την κατανόηση του κόσμου και την

προσπάθεια για τη βελτίωσή του.

Ένας άνθρωπος που θέλει να γνωρίσει την ομορφιά των Μαθηματικών μπορεί να

ξεκινήσει να λύνει στην αρχή πολλά προβλήματα προχωρώντας στη συνέχεια σε

δυσκολότερα. H ικανοποίηση από την επίλυση μιας άσκησης και η χαρά της

δημιουργίας από τη λύση ενός προβλήματος είναι κινητήριος δύναμη για το

επόμενο. Απαραίτητη προϋπόθεση βέβαια είναι η γνώση της θεωρίας και η βοήθεια

των δασκάλων.

Μην ξεχνάμε ότι τα Μαθηματικά στην ουσία γεννήθηκαν στην Αρχαία Ελλάδα. Αλλά

και σήμερα οι επιτυχίες και οι διεθνείς διακρίσεις των Ελλήνων μαθηματικών σ’

όλο τον κόσμο συνεχίζουν την παράδοση αυτή και δημιουργούν ελπίδες.

Τον Ιούλιο του 2004 θα γίνει στην Αθήνα για πρώτη φορά η Διεθνής Ολυμπιάδα

Μαθηματικών. Τα καλύτερα μυαλά του κόσμου, θα διαγωνιστούν στην Αθήνα, λίγο

πριν από τους Ολυμπιακούς Αγώνες του 2004. Οι Έλληνες μαθητές πάντα

διακρίνονται στους Μαθηματικούς Διαγωνισμούς. H Ελλάδα πέρυσι στη Διεθνή

Ολυμπιάδα κατέλαβε την 4η θέση μεταξύ των χωρών της Ευρωπαϊκής Ένωσης. Όλοι

ελπίζουμε ότι με τις επιτυχίες τους θα μας γεμίσουν χαρά και υπερηφάνεια.

ΓΑΛΑΝΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ

«Έλυνα όποια άσκηση έπεφτε στα χέρια μου»

Τα Μαθηματικά B’ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης χρειάζονται ιδιαίτερη προσοχή,

καθώς η διδακτέα ύλη είναι διαφορετική απ’ αυτά που έως τώρα είχε

αντιμετωπίσει. Έτσι, ο μαθητής καλείται να αντεπεξέλθει σε τομείς σχεδόν

καινούργιους γι’ αυτόν, όπως είναι τα διανύσματα, οι κωνικές τομές και η

θεωρία αριθμών. Παρ’ όλα αυτά, κάποιος που έχει κατανοήσει την ύλη και που,

κυρίως, έχει εξασκηθεί στην επίλυση ασκήσεων, δεν θα δυσκολευτεί να γράψει για

έναν αρκετά υψηλό βαθμό. Αν μπορούσα να ξεχωρίσω ένα σημείο της διδακτέας

ύλης, αυτό θα ήταν το κεφάλαιο των κωνικών τομών, απ’ όπου «πέφτει» συνήθως το

θεωρητικά δυσκολότερο θέμα. Βέβαια, ο μαθητής πρέπει να δίνει τη δέουσα

προσοχή σε όλα τα κεφάλαια για την αποφυγή οποιουδήποτε είδους κενών. Τα ίδια

ισχύουν για την Άλγεβρα και τη Γεωμετρία. Συγκεκριμένα, η Άλγεβρα απαιτεί

πλήρη κατανόηση της θεωρίας και καλό είναι ο μαθητής να αποφύγει τη στείρα

απομνημόνευση τύπων και μεθοδολογιών, αλλά να δει πως τα δύο τελευταία

στοιχεία λειτουργούν μέσα σε ασκήσεις. Παράλληλα, στη Γεωμετρία, ο μαθητής

πρέπει να συνειδητοποιήσει τη σημασία της αξιοποίησης όλων των δεδομένων για

την επίλυση μιας άσκησης και ταυτόχρονα την έμφαση που πρέπει να δίνει στο

σχήμα. Ένα μεγάλο και «καθαρό» σχήμα, εκτός του ότι βοηθάει στην επίλυση της

άσκησης, κάνει καλή εντύπωση και στον διορθωτή. Γενικά, με βοήθησε σε μέγιστο

βαθμό η επίλυση οποιασδήποτε άσκησης «έπεφτε» στα χέρια μου, όπως και τα

αποκαλούμενα διαγωνίσματα προσομοίωσης, που σου δίνουν τη δυνατότητα να

ελέγξεις σε τι επίπεδο βρίσκεσαι και σε εγκλιματίζουν στο πνεύμα των

εξετάσεων. Ασφαλώς, όλα αυτά προϋποθέτουν αρκετές ώρες ουσιαστικού

διαβάσματος, όμως είναι κάτι παραπάνω από σίγουρο ότι ο χρόνος αυτός θα

ανταμείψει τον υποψήφιο.

ΠΕΤΡΑΤΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ

«Κατανόηση της θεωρίας της Γεωμετρίας»

H Γεωμετρία ανήκει στην κατηγορία των μαθημάτων στα οποία ο μαθητής μπορεί να

σημειώσει αξιόλογα αποτελέσματα. Το καλό διάβασμα της θεωρίας με σκοπό όχι

τόσο την πλήρη απομνημόνευση αλλά την κατανόηση και την εφαρμογή της στις

ασκήσεις, αποτελεί ένα σημαντικό βήμα για την αντιμετώπιση οποιουδήποτε

προβλήματος. Εξίσου απαραίτητη θεωρείται και η συνεχής εξάσκηση και ασχολία με

ασκήσεις και κυρίως μ’ αυτές που παίζουν τον ρόλο των προτύπων για τη λύση

άλλων παρόμοιων. Δεν πρέπει να παραλειφθεί και το σημαντικό ποσοστό βοήθειας

από τους καθηγητές – και φροντιστηρίου -, οι οποίοι φροντίζουν να δείχνουν

απλά και μεθοδικά τον τρόπο επίλυσης προβλημάτων. Γι’ αυτό απαιτείται η δέουσα

προσοχή στην παρακολούθησή τους. Όλα αυτά, βέβαια, δεν είναι δυνατό να

επιτευχθούν χωρίς την ύπαρξη καλής διάθεσης και επιθυμίας από την πλευρά του

μαθητή για συνεργασία και διατύπωση αποριών, καθώς μέσα από αυτές μαθαίνει και

βελτιώνεται συνεχώς.

KAPKANH ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ

«H στείρα απομνημόνευση οδηγεί σε αδιέξοδο»

Άλγεβρα. Παρεξηγημένο μάθημα, ιδιαίτερα από τους μαθητές της Θεωρητικής

Κατεύθυνσης. Στην αρχή μοιάζει με βουνό από δυσνόητους τύπους, κανόνες και

θεωρήματα. Όταν όμως το δουλέψεις και κατανοήσεις το αντικείμενό του θα το

λατρέψεις. Θα θέλεις να το κατακτήσεις και συνεχώς θα σε προκαλεί να φτάνεις

στα όρια των γνώσεών σου. Το παν είναι να αγαπήσεις αυτό το μάθημα. Μην το

βλέπεις σαν απλά Μαθηματικά και τίποτα περισσότερο. Σκέψου το σαν έναν τρόπο

να ακονίσεις το μυαλό σου. Μην το φοβάσαι, σίγουρα μπορείς να αντεπεξέλθεις,

ακόμα κι αν ποτέ σου δεν είχες καλή σχέση με τα Μαθηματικά. Προσπάθησε να μην

αφήνεις κενά. Τα κεφάλαια συνδέονται και οι τύποι συσσωρεύονται, καθιστώντας

τη συνέχεια δυσκολότερη. Σημαντικό, επίσης, είναι να μάθεις να χρησιμοποιείς

σωστά τους τύπους. Μην τους αποστηθίζεις απλά. H στείρα απομνημόνευση οδηγεί

σε αδιέξοδο. Για να διατηρήσεις όμως όλες αυτές τις γνώσεις που με τόσο κόπο

κατέκτησες πρέπει να κάνεις και κάτι ακόμη. Να θυσιάσεις λίγο από τον ελεύθερο

χρόνο σου κάνοντας επαναλήψεις. Προσοχή όμως! Επανάληψη στην Άλγεβρα είναι οι

ασκήσεις και όχι η απλή ανάγνωση του βιβλίου. Στην προσπάθειά σου αυτή, που

αφορά πλέον όλα τα μαθήματα, θα έχεις πάντα στο πλευρό σου τους καθηγητές σου,

σχολείου – φροντιστηρίου, για να λύσουν τις απορίες σου. Με συνέπεια στις

υποχρεώσεις σου, προσοχή και καλό διάβασμα δεν θα αντιμετωπίσεις ποτέ

προβλήματα και δυσκολίες. Πίστεψε στις δυνάμεις σου.

«Ψυχραιμία και μεθοδικότητα»

Τα Μαθηματικά της Γ’ Λυκείου είναι ιδιαίτερα «γοητευτικά και συναρπαστικά».

Ωστόσο, ο σεβασμός του μαθητή προς αυτά γρήγορα μετατρέπεται σε φόβο και

μερικές φορές σε πανικό. Πολλές καινούργιες έννοιες, αχανής ύλη και αυξημένο

επίπεδο δυσκολίας είναι παράγοντες που εντείνουν το αίσθημα της ανασφάλειας

των μαθητών σχετικά με το τι πρέπει να πρωτοκάνουν ώστε να εξασφαλίσουν μια

καλή «μαθηματική» κατάρτιση. Εγώ και οι περισσότεροι συμμαθητές μου βιώσαμε

στην αρχή αυτά τα συναισθήματα μέχρι που συνειδητοποιήσαμε ότι το μόνο που

πετυχαίναμε είναι να αποπροσανατολιζόμαστε. Μία είναι η λύση: ψυχραιμία. Μόνο

με την αποβολή κάθε φόβου και άγχους αποκτά κανείς διαύγεια και δεκτικότητα,

πράγματα ουσιαστικά για την κατανόηση των Μαθηματικών. H μελέτη πρέπει να

είναι μεθοδική και συστηματική και, αν είναι εφικτό, σε καθημερινή βάση.

Σάρωση της θεωρίας του βιβλίου, των ασκήσεών του, πάντα συνέπεια στις

υποχρεώσεις τόσο σε σχολικό όσο και σε φροντιστηριακό επίπεδο, εμβάθυνση και

στην παραμικρή λεπτομέρεια και έγκαιρη κάλυψη οποιονδήποτε κενών, αποτελούν τα

κλειδιά για την πόρτα της επιτυχίας στα Μαθηματικά. Να είστε «ανοιχτοί» σε

οποιαδήποτε «πηγή», είτε αυτή είναι κάποιο βοήθημα, ή ασκήσεις από οπουδήποτε,

εφόσον, βέβαια, είναι «εντός του πλαισίου της ύλης». Μια πολύ καλή τέτοια πηγή

είναι το περιοδικό «Ευκλείδης» της EME.

Τέλος, να έχετε πάντα αυτοπεποίθηση και να μην πτοείστε από εξωτερικούς

παράγοντες, αφού η μαθηματική «κουλτούρα» αποκτάται σιγά σιγά με δουλειά και

προπόνηση. Μόνο εσείς γνωρίζετε το επίπεδο στο οποίο βρίσκεστε. Και να ξέρετε

ότι τα πράγματα είναι πιο απλά από ό,τι φαίνονται αρκεί να αντιμετωπίζονται με

μέθοδο και σοβαρότητα.

«Προσοχή στην ανάπτυξη των συλλογισμών»

O κ. Παναγιώτης Πουλόπουλος, έμπειρος μαθηματικός – βαθμολογητής, δίνει

τις κατάλληλες οδηγίες:

«Το πρώτο σημείο που πρέπει να τονιστεί είναι κάτι το αυτονόητο, που όμως

δυστυχώς δεν λαμβάνεται όσον θα έπρεπε υπ’ όψιν. Καλή γνώση της θεωρίας. Αυτό

θα βοηθήσει τους υποψηφίους όχι μόνο να προσεγγίσουν αξιόπιστα τις ασκήσεις,

αλλά θα τους βοηθήσει να απαντήσουν επιτυχώς σε όλα τα θεωρητικά ερωτήματα του

πρώτου θέματος. Σε πάρα πολλές περιπτώσεις, έχει παρατηρηθεί να βαθμολογείται

ο υποψήφιος με το σύνολο των μορίων σε ένα απαιτητικό ερώτημα και να έχει

βαθμολογικές απώλειες από εύκολες ερωτήσεις θεωρίας. Μεγάλη προσοχή θα πρέπει

να δίνεται στην ανάπτυξη των συλλογισμών, όπως και στη δικαιολόγηση των

σημείων εκείνων που έχουν καθοριστικό ρόλο στην αποδεικτική διαδικασία. Δεν

είναι λίγες οι φορές που ο εξεταζόμενος έχει συλλάβει τη λογική και τη

στρατηγική της λύσης, αλλά δεν μπόρεσε να την εκφράσει στο γραπτό του με

αποτέλεσμα να μη γίνει πειστικός και να έχει βαθμολογικές απώλειες. Ένα άλλο

θέμα στο οποίο πρέπει να δίνεται προσοχή είναι η αποφυγή λαθών που γίνονται σε

πράξεις. Είναι επιπόλαια λάθη που τις περισσότερες φορές αλλοιώνουν τη

φυσιογνωμία της άσκησης και οδηγούν σε λάθος συμπέρασμα. Κάτι που όλοι

γνωρίζουν και όμως ξεχνούν την κρίσιμη στιγμή, είναι η πολύ καλή κατανόηση των

δεδομένων του προβλήματος, η ανάλυση αυτών και η επίγνωση του στόχου που

πρέπει να θέσουμε ώστε να φτάσουμε στην επιτυχή αντιμετώπισή του. Και σίγουρα

δεν πρέπει να υποτιμάμε ούτε να υπερτιμάμε ένα θέμα, αλλά με σοβαρότητα,

εμπιστοσύνη στις δυνατότητές μας και με καθαρό μυαλό να το προσεγγίζουμε».

Ο δεκάλογος της επιτυχίας

1. Πολύ καλό διάβασμα θεωρίας – σχολικού βιβλίου.

2. Μεθοδική και συνεχής μελέτη.

3. Αρχίζουμε από τα εύκολα και πάμε στα δυσκολότερα.

4. Στις εξετάσεις πρώτα λύνουμε τα εύκολα θέματα που έχουν και πολλές (15

από 20) μονάδες.

5. Προσέχουμε την αλληλοδιαδοχή των ερωτημάτων. Είναι η «διαδρομή» για τη

λύσης μιας άσκησης.

6. Προπόνηση στη λύση ασκήσεων. Εντοπίζουμε την «ιδέα» που θα είναι κοινή

για πολλές ασκήσεις.

7. Χρήσιμη η ανάγνωση του περιοδικού της Μαθηματικής Εταιρείας «Ευκλείδης».

8. Όταν μας πιάνει απογοήτευση, επιστρέφουμε σε όσα ήδη ξέρουμε.

9. Πολύ καλή επανάληψη.

10. Αισιοδοξία. Τα προβλήματα τα λύνουν αυτοί που πιστεύουν στον εαυτό τους.