Αναζήτηση
Στην Αλγεβρα εξετάστηκαν σήμερα Σάββατο 8 Ιουνίου οι υποψήφιοι των επαγγελματικών λυκείων για την εισαγωγή στην Τριτοβάθμια Εκπαίδευση. Στην πλειονότητά τους τα θέματα θεωρούνται βατά.
Tanea.gr σε συνεργασία με τα Φροντιστήρια Ομόκεντρο του κ. Αντώνη Φλωρόπουλου δίνουν τις απαντήσεις σε όλα τα θέματα:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ) Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α
A1. Σελίδα 28 σχολικό βιβλίο
Α2. Σελίδα 59 σχολικό βιβλίο
Α3. α→Λ
β→Σ
γ→Λ
δ→Λ
ε→Σ
ΘΕΜΑ Β
Β1. Έχουμε S=Image
Επειδή οι τιμές του δείγματος είναι θετικές τότε Image>0
Είναι CV=20%↔Image↔Image↔Image=10
B2. Image=10↔Image
↔52+κ=60↔κ=8
Β3. Οι τιμές του δείγματος σε αύξουσα διάταξη είναι: 7, 8, 10, 11, 11, 13 και αφού v=6 τότε
Image
Το εύρος R=13-7=6
Β4. Αν xi οι αρχικές τιμές και yi οι νέες τιμές που προκύπτουν τότε yi=xi-2 i=1, 2…6
Άρα Image=Image-2=10-2=8
Sy=Sx=2
Επειδή
Image
Το δείγμα των νέων τιμών δεν είναι ομοιογενές.
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. Για κάθε xÎR έχουμε:
f’(x)=Image(x2-2x+10)΄
==Image=Image
Γ2. Έχουμε
· f’(x)=0↔Image=0↔x-1=0↔x=1
·f’(x)>0↔Image>0 ↔x-1=0↔x>1
·f’(x)<0↔Image<0↔x-1<0↔x<1
Το πρόσημο της f’(x), η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:
x -¥ 1 +¥
f’(x) – +
f(x)
min
Η f γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (-¥, 1] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [1, +¥).
Για x-1 η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το f(0)=Image
Άρα για κάθε xÎR ισχύει f(x)³3.
Γ3. Η εφαπτομένη ε της Cf στο σημείο Μ(5, f(5)) δηλαδή στο σημείο της Μ(5, 5) έχει συντελεστή διεύθυνσης τον αριθμό Image
Άρα η εξίσωση της είναι Image και αφού η ε διέρχεται από το σημείο Μ(5, 5) τότε: Image
Άρα ε: y=Image
Γ4.
·Για y=0 είναι Image οπότε η ε τέμνει τον άξονα x΄xστο σημείο Α(Image
· Για x=0 είναι y=1, οπότε η ε τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο Β(0, 1)
ΘΕΜΑ Δ
Δ1. Για λ=3 έχουμε
f(x)=x3-3×2+3x, xÎR
Η f είναι παραγωγίσιμη στο R με f’(x)=(x3-3×2+3x)’=3×2-6x+3=3(x2-2x+1)=3(x-1)2³0 για κάθε xÎR
Οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο R.
Επειδή Imagef (Image)< f(Image).
Δ2. Έχουμε Image
Image=
Image
Δ3. Η γραφική παράσταση της f σε κάθε σημείο της (x, f(x)), xÎR έχει συντελεστή διεύθυνσης λ(x)=f’(x)=3(x2-2x+1), xÎR
Για κάθε xÎR είναι λ’(x)=[3(x2-2x+1)]’=3(2x-2)=6(x-1)
Έχουμε λ’(x)=0↔6(x-1)=0↔x=1
x -¥ 1 +¥
λ’(x) – +
λ(x)
min
Για x=1 η συνάρτηση λ(x) παρουσιάζει ελάχιστο.
Άρα το σημείο Μ(1, f(1)) δηλαδή το σημείο Μ(1, 1) είναι αυτό στο οποίο η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης.
Δ4. Για κάθε xÎR f’(x)=(x3-3×2+λx)’=3×2-6x+λ
Η f δεν παρουσιάζει ακρότατα αν και μόνο αν f’(x)³0 για κάθε xÎR↔3×2-6x+λ³0 για κάθε xÎR και αφού α=3>0 τότε πρέπει Δ≤0↔(-6)2-4∙3∙λ≤0↔36-12λ≤0↔λ³3.
Άρα λmin=3.
Τις απαντήσεις επιμελήθηκε ο μαθηματικός τομέας των Φροντιστηρίων Ομόκεντρο του κ. Αντώνη Φλωρόπουλου.
Οι Πανελλαδικές Εξετάσεις θα συνεχιστούν τη Δευτέρα με τους υποψηφίους να εξετάζονται στα Αρχαία Ελληνικά και τα Μαθηματικά.
